словник на академіка

(Від грец. Axioma значуще, прийняте положення) вихідне, що приймається без доведення положення к.-л. теорії, що лежить в основі доказів ін її положень. Довгий термін А. розумівся не просто як відправний пункт доказів, але і як справжній стан, що не потребує в особливому доказі в силу його самоочевидності, наочності, ясності і т. п. Так, Аристотель вважав, що А. (початку) не вимагають докази з причини своєї ясності і простоти.

Др. -Греч. математик Евклід розглядав прийняті ним геометричні А. як самоочевидні істини, достатні для виведення всіх ін істин геометрії.

Нерідко А. трактувалися як вічні і непорушні істини, відомі до всякого досвіду і не залежні від нього, спроба обгрунтування яких могла тільки підірвати їх очевидність. Переосмислення проблеми обгрунтування А. змінило і
самого терміна А.. А. не є вихідним началом пізнання, а швидше його проміжним результатом. Вони обгрунтовуються не самі по собі, а в якості необхідних складових елементів теорії:
останньої є одночасно і підтвердження її А.
Критерії вибору А. змінюються від теорії до теорії і є багато в чому прагматичними, що враховують міркування стислості, зручності маніпулювання, мінімізації числа вихідних понять і т. п. Зокрема, у формальному обчисленні,
теорем якого вже відомий, А. це просто одна з тих формул, з яких виводяться інші доказові формули.

Якщо, проте,
ще не визначена однозначно,
її А. може диктуватися і змістовними міркуваннями. Аксіоматичні спосіб побудови наукової теорії, при якому якісь положення теорії обираються в якості вихідних, а всі інші її положення виводяться з них чисто логічним шляхом, за допомогою доказів.
Положення, доказувані на основі аксіом, називаються теоремами. А. м. особливий спосіб визначення об’єктів і відносин між ними. Він використовується в математиці, логіці, а також в окремих розділах фізики, біології та ін

А. м. зародився ще в античності і придбав велику популярність завдяки Початкам Евкліда, що з’явилися ок. 330320 до н. е.. Евклиду не вдалося, однак, описати в його аксіомах і постулатах всі властивості геометричних об’єктів, які використовуються ним в дійсності; його докази супроводжувалися численними кресленнями.

Приховані допущення геометрії Евкліда були виявлені тільки в Новітній час Д.
Гильбертом, який розглядав аксіоматичну теорію як формальну теорію, що встановлює співвідношення між її елементами (знаками) і описує будь-яку безліч об’єктів, що задовольняють їй. Зараз аксіоматичні теорії нерідко формулюються як формалізовані системи, що містять точне
логічних засобів виведення теорем з аксіом.

Доказ в такій теорії являє собою послідовність формул, кожна з яких або є аксіомою, або виходить з попередніх формул послідовності по одному з прийнятих правил виводу. До аксіоматичної формальної системи пред’являються вимоги несуперечності, повноти, незалежності системи аксіом і т. д. А. м. є лише одним з методів побудови наукового знання.
Він має обмежене застосування, оскільки вимагає високого рівня розвитку аксіоматізіруемой змістовної теорії.

Як показав К. Гедель, досить багаті наукові теорії (напр., арифметика натуральних чисел) не допускають повної аксіоматизації. Це свідчить про обмеженість А. м. і неможливості повної формалізації наукового знання.

Словник на академіка